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| El espacio y el tiempo, juntos. |
La geometría euclídea (ya sea en dos o tres dimensiones) es una descripción idealizada del espacio que nos rodea, tal y como es percibido por nuestros sentidos. Aún así estos espacios no se limitan a tres dimensiones, ya sea porque el fenómeno a explicar requiere de más componentes o porque es una ficción conveniente representarlo de esta manera (véase el artículo de este mismo blog titulado la maldición de las dimensiones), por lo que estas representaciones que se escapan a la percepción humana no dejan de ser igualmente válidas desde un punto de vista analítico. En este artículo nos centraremos en la geometría de la realidad, incluyendo la dimensión temporal, por lo que hablaremos de resultados que se pueden generalizar fácilmente a cuatro dimensiones.
Antes de comenzar, debemos asumir los siguientes principios:
- Cada observador que mencionemos se asume que posee un reloj, el cual se encuentra sincronizado con el resto de relojes.
- La línea de universo es la trayectoria que un cuerpo sigue a través del espacio-tiempo
- Emplearemos dos dimensiones espaciales y una temporal. Los resultados se generalizan (pero no se visualizan) fácilmente a tres dimensiones espaciales y una temporal.
- Nos limitaremos el movimiento uniforme. Los resultados pueden generalizarse a movimientos acelerados, sustituyendo las lineas de universo por curvas de universo.
El espacio-tiempo de Galileo
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| Esquema del espacio-tiempo galileano / Elaboración propia |
En la figura de la derecha puede verse un ejemplo de este tipo de geometría. Las líneas azuladas muestran la trayectoria de tres cuerpos. La trayectoria A se corresponde con un cuerpo en reposo, por lo que su línea de universo es paralela al eje temporal. Las trayectorias B y C se desplazan con movimiento uniforme, pero su línea de universo es distinta (la trayectoria).
Imaginemos que somos el observador A, que convenientemente se encuentra en reposo en el mismo punto durante los tres instantes de tiempo que hemos marcado en el diagrama. Al comienzo, B estará más lejos de nosotros que C, situación que continuará en t=1. Finalmente, en t=2, B será la partícula más cercana.
El movimiento que experimenta cada una de las partículas a lo largo del tiempo es su velocidad y es posible su medida. En este caso concreto podemos asumir que las velocidades de B y C tienen la misma magnitud, pero como se aprecia en el diagrama, la dirección es la contraria (uno se mueve de derecha a izquierda y el otro de izquierda a derecha). Al encontrarse el observador A en reposo, el cómo aprecia el movimiento de B (es decir, su velocidad) será distinta a la que por ejemplo experimenta B respecto de A. Por ejemplo, es totalmente válido que B considere que quien se está acercando a una gran velocidad es A, en lugar del caso contrario.
Aunque no sea ninguna sorpresa, la capacidad de cambiar el sistema de referencia es tipo de relatividad, que ya se conocía en el siglo XVII. Lo interesante es que el paso de un sistema de referencia (originalmente A era la referencia y ahora lo es B) a otro se limitaba a sumas y restas entre los vectores de velocidad, es decir, a efectuar transformaciones rígidas como la traslación y rotación, necesarias para poder centrar el sistema de coordenadas en la partícula que queríamos considerar en reposo. Básicamente el principio de relatividad de Galileo se traduce en que no existe un marco de referencia (origen de coordenadas) mejor que otro, sino más conveniente según el propósito que se quiera analizar.
Como se ha podido ver no hemos mencionado nada sobre el tiempo, que sólo ha sido incluido como un elemento conveniente, muy útil para modelar un sistema dinámico. Las velocidades pueden ser relativas, pero para todos los elementos del sistema el tiempo transcurre de la misma forma, el tiempo es absoluto, por lo que pasa para todos los observadores al mismo ritmo. Además todos los cuerpos se sienten como en una autovía alemana: no tienen límite de velocidad. ¿Por qué debería haberlo? En el siglo XVII bien daba igual que una bola cayese a 80 km/h que a 240 km/h, son velocidades ridículamente lentas. La ciencia moderna prácticamente acababa de nacer, no existían los medios para preocuparse para velocidades realmente elevadas.
En general, esta geometría es válida y se corresponde a la realidad que percibimos con los sentidos. El problema surge cuando los cuerpos se desplazan a grandes velocidades. Es en ese caso cuando este espacio-tiempo comienza a romperse.
El espacio-tiempo de Minkowski
La idea de que la concepción galileana era errónea surgió a partir de los experimentos de Michaelson-Morley, que concluyeron que la velocidad de la luz era exactamente la misma, independientemente del sistema de referencia empleado. La idea principal era que si la fuente de luz se movía en dirección opuesta al aparato de medición, debía sumarse la velocidad relativa que llevaba el aparato en cuestión. Se vio que eso no pasaba, la velocidad de la luz era siempre la misma. Nunca se sumaba ni se restaba nada.
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| El cono de luz de Minkowski / Elaboración propia |
Hermann Minkowski fue el autor de una nueva geometría en la cual el espacio y el tiempo se encontraban fundidos de manera completa, no como en el caso de la geometría de Galileo. El elemento central de la geometría de Minkowski es el cono de luz que incrusta en la estructura espacio-temporal un límite de velocidad, el de la luz. El cono simboliza la trayectoria más rápida que cualquier partícula puede adquirir. En un extremo, el del reposo, el cuerpo sigue el eje temporal y en el extremo opuesto, cuando la partícula se desplaza a la velocidad de la luz, la trayectoria está en la superficie interna del cono. Cualquier velocidad intermedia se encuentra, por lo tanto, entre el centro del cono y la superficie de éste.
En la figura a la derecha de estas palabras se muestra este cono. Las líneas de universo denominadas P1 y P2 se encuentran en el borde interno del cono, por lo que se corresponden con fotones, los cuales se desplazan a la velocidad de la luz. La trayectoria denotada mediante una línea discontinua (R) se corresponde a un cuerpo que se desplaza rápidamente, al menos comparado con la línea azul, denotada mediante la letra M. Por ahora, salvo a la imposibilidad física impuesta por el cono, no hay mucha diferencia entre la geometría galileana y la minkowskiana. Pero si la hay, porque esta estructura altera la manera en la que se mide la distancia entre dos sucesos (no puntos, sucesos). Veamos cómo se mide la distancia en la geometría euclidiana (en dos dimensiones) y en la minkowskiana (dos dimensiones espaciales y una temporal).
} & d^2 = x^2 + z^2 & (1.1)\\ \mbox{(minkowskiana)} & s^2 = t^2 - (x/c)^2 - (z/c)^2 & (1.2)\\ \end{array} "\begin{array}{lll} \mbox{(euclidiana)} & d^2 = x^2 + z^2 & (1.1)\\ \mbox{(minkowskiana)} & s^2 = t^2 - (x/c)^2 - (z/c)^2 & (1.2)\\ \end{array}")
Esta manera de medir las distancias en el espacio-tiempo tiene una característica que parece contradecir la intuición. Si tenemos tres puntos, A, B y C, estamos acostumbrados a que la distancia entre dos de ellos, digamos A y B, sea como mucho igual que la suma de las distancias entre A y B junto con la de B y C. Esta expresión es denominada desigualdad triangular y es una propiedad que cumple la geometría euclídea, sin importar el número de dimensiones que la describan. El problema es que la geometría de Minkowski, el triángulo descrito por A, B y C cumple la expresión siguiente:
 \geq d(A,B) + d(A,C) & (2) \end{array} "\begin{array}{ll} d(A,B) \geq d(A,B) + d(A,C) \end{array}")
En el caso de la geometría euclidiana hemos asumido que sólo tiene dos dimensiones, por lo que la expresión indica la distancia entre ese punto (x,z) y el origen. Sin embargo, en el caso de la geometría que da título a esta entrada, t denota el tiempo experimentado por un observador en reposo, es decir, respecto al sistema de coordenadas (hecho que puede verse en la figura anterior).
El resto de las componentes representan la velocidad a la que se desplaza el cuerpo, relativa eso si, a la velocidad de la luz. Esta ecuación plantea varios escenarios. Si el observador está en reposo respecto al marco de referencia, entonces tanto x como z (junto con y, si lo extendemos a tres dimensiones temporales) serán cero, por lo que la distancia entre dos sucesos será equivalente al tiempo transcurrido desde el punto de vista de un observador en reposo (lógico, porque está en reposo). Sin embargo, conforme la velocidad se acerca a c, los elementos que restan se van haciendo cada vez más grandes, disminuyendo el tiempo percibido, entre los dos sucesos. El extremo opuesto a la situación de reposo sería el caso de una partícula que se desplace a la velocidad de la luz. En este caso s pasaría a valer cero. De esta manera se afirma que, para un fotón, el tiempo no transcurre. Todavía queda el caso en el que el cuadrado de s es un número negativo. Esto sería equivalente a que estuviera fuera del cono y bueno, eso ya lo veremos en otra entrada. Repito un hecho muy importante, el significado de s es el de tiempo percibido, tiene sentido que ésta sea la distancia porque es una geometría de espacio-tiempo.
Esta manera de medir las distancias en el espacio-tiempo tiene una característica que parece contradecir la intuición. Si tenemos tres puntos, A, B y C, estamos acostumbrados a que la distancia entre dos de ellos, digamos A y B, sea como mucho igual que la suma de las distancias entre A y B junto con la de B y C. Esta expresión es denominada desigualdad triangular y es una propiedad que cumple la geometría euclídea, sin importar el número de dimensiones que la describan. El problema es que la geometría de Minkowski, el triángulo descrito por A, B y C cumple la expresión siguiente:
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| Esquema de la paradoja de los gemelos / Elaboración propia |
Expliquemos el significado de (2) con un ejemplo, la archiconocida paradoja de los gemelos. El escenario es el siguiente. Existen dos gemelos, uno de ellos permanece en la Tierra mientras que su hermano se monta en una nave espacial y realiza un viaje a una cierta velocidad, para luego retornar a la tierra. Imaginaremos que el retorno no implica ningún tipo de parada y que la nave sigue una velocidad constante durante todo el trayecto. Existe un suceso, A, el cual es el comienzo del viaje y otro, C, el cual es el retorno del gemelo. El suceso B implica el instante en el espacio-tiempo en el comienza el viaje de vuelta.
Situando el origen de coordenadas en A, podemos afirmar que entre A y C, para un observador en reposo pasan t unidades de tiempo. Sin embargo, entre A, C y luego C, B el hermano se desplaza a una cierta velocidad, la cual llamaremos v_m. Ahora combinaremos la definición de s vista en la expresión (1.2), con la relación entre las distancias vista en (2) para ver que, en efecto, el gemelo viajero experimenta menos tiempo. Para ello denotaremos como v_r a la velocidad en reposo, cuyo valor es cero y como v_m a la velocidad en movimiento, cuyo valor no es necesario determinar para afirmar que la desigualdad vista en (2) se cumple en sentido estricto.
Aún así todo esto no quiere decir que la concepción de Galileo sea incorrecta. Es correcta siempre y cuando las velocidades sean pequeñas respecto a la de la luz. Este hecho se puede ver en (3), en el que si v_m es pequeño, el tiempo percibido es muy similar al que experimenta el gemelo en reposo. Lo que esta geometría nos enseña es que el tiempo no es absoluto y que se encuentra fundido de una manera mucho más intrincada de lo que se pensaba originalmente.
Y si has llegado hasta aquí, enhorabuena ;)
Pepe "Puertas de acero" Pérez
Bibliografías:
[1] Bertrand Russel. El ABC de la Relatividad.
[2] Roger Penrose. La Nueva Mente del Emperador.
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