Determinismo y teoría del caos

Cuando era un crío, una de las cosas que más me chocó fue la existencia de leyes que predijeran fenómenos naturales. No tarde tiempo en creer que si eramos capaces de encontrarlas todas, podríamos predecir lo que iba a suceder en cualquier momento. Claro, todavía desconocía el componente probabilístico de la física cuántica y los efectos que esta produce a escala macroscópica (¡próximamente entrada en blog sobre esto !)

En esta entrada lo que intentaré es aclarar por qué hay un límite a partir del cual ciertas leyes de la naturaleza pasan de ser potentes oráculos, a convertirse en vulgares tarotistas de televisión autonómica. No pretendo usar apenas matemáticas en este artículo por dos simples motivos. Primero, las desconozco en su totalidad y segundo, creo que nos separarían de la meta del artículo: dar una visión intuitiva sobre el determinismo físico y el papel limitante que juega el caos en él. Aún así es imprescindible introducir  un poco de terminología, y alguna formulilla, que sin matar la intuición, ayudará a comprender mejor el resto de la entrada.

Sistema: un sistema físico puede verse como un conjunto de entidades relacionadas entre sí, sujeto al cambio a lo largo del tiempo mediante algún tipo de regla de evolución. En cada instante de tiempo el sistema se encuentra en un estado distinto y existe una función que modela el paso de un estado al otro. Por ejemplo, el sistema solar es un sistema físico, cuyas entidades son los cuerpos celestes, su estado lo conforman las posiciones de éstos y la función que modela el paso de un estado a otro esta regida por la ley de la gravitación universal (más o menos).

Determinismo y no determinismo: se dice que un sistema es determinista cuando a partir de un estado concreto, la ley que rige su comportamiento, si se aplica a dicho estado produce siempre el mismo estado. Por ejemplo, podemos saber la posición de la luna dentro de 10 días, sabiendo cual es su posición actual. Por el contrario, en un sistema no determinista, a partir de un estado, no es posible predecir con exactitud cual será el estado siguiente. Por ejemplo, es imposible predecir la trayectoria de un electrón. Como mucho es posible saber  con una determinada probabilidad sus posiciones a lo largo del tiempo,.

Si nos centramos en el mundo que nos rodea, estamos ante sistemas deterministas, sobre los cuales el paso de un estado a otro se encuentra definido con exactitud. Por ejemplo, imaginemos que somos capaces de modelar la evolución del tamaño de una población. Este sistema se describe mediante dos parámetro: x (que indica, la proporción de la población actual respecto del máximo que el entorno puede alberga)r y r, que indica la tasa combinada de muertes y nacimientos. La fórmula empleada se denomina ecuación logística y es la siguiente

La fórmula viene a decir que el tamaño de la población en el instante siguiente (x[n+1]) depende sólo de operaciones sobre el valor anterior. Existe por lo tanto una regla fija que indica el tamaño en la generación siguiente, sin ningún tipo de incertidumbre. Por lo tanto, el sistema que modela la función es totalmente determinista.
El vídeo que puede verse a continuación se compone de una serie de instantáneas. En cada una de ellas se muestra la evolución del tamaño de la población durante 100 generaciones. A lo largo del vídeo, r va variando, por lo que puede observarse cómo este parámetro influye en el tamaño de la población.

Si señores, cuando r sobrepasa el valor de 3.6  se desata el infierno.  Lo único que percibimos es caos. 

Si r fuera conocido con precisión absoluta, es decir, sin error alguno, no habría ningún problema. ¿Qué más me da que x vaya dando saltos cuando sé qué saltos pega? El problema es que nunca se conoce r con total exactitud y, como hemos visto en el vídeo, un cambio mínimo de r produce valores completamente diferentes a lo que esperaríamos.

Si nos ponemos algo más serios, se dice que una función es caótica cuando es muy sensible a los valores iniciales. En este caso la función es muy sensible al valor de r. Para estudiar este tipo de funciones surge la teoría del caos, rama de la ciencia que se encarga de analizar que propiedades cumplen estas expresiones e  intentar encontrar algún tipo de regularidad en la mismas. 

A fin de cuentas, lo que hemos visto anteriormente es una tontería, pero sirve para ilustrar cómo una expresión tan sencilla puede tener encerrada en su interior una complejidad increíble (de la misma manera que la semana pasada os hablaba de los patrones complejos producidos por los autómatas celulares).

Por desgracia, día a día nos cruzamos con fenómenos que inherentemente son caóticos. Un claro ejemplo es el tiempo atmosférico,  de ahí la frase "el aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo". El significado real es que una perturbación, por muy pequeña que sea, puede condicionar de manera irremediable la evolución del sistema. En el caso de la ecuación logística que veíamos, un incremento muy pequeño de r cambia por completo la evolución de la población. Si una mariposa altera la presión del aire en una determinada región, puede, en principio, amplificarse su efecto de manera impredecible a lo largo del globo.

Esta impredecibilidad no debe confundirse con aleatoriedad. No somos capaces de predecir los valores porque no se corresponden con lo que esperamos de ellos, debido a la limitada precisión que disponemos sobre el valor de los parámetros, y la gran sensibilidad del sistema a esta discrepancia. Con esto quiero decir que, aunque conociésemos todas las leyes de la naturaleza, muchas de ellas exhiben un comportamiento caótico, el cual, sumado al error inherente que cometemos al medir, nos inhabilita en la práctica a realizar predicciones a largo plazo. Por ahora estamos a salvo de poder predecir el futuro, el caos acaba siempre por inundar al cosmos.

Pepe "Puertas de Acero" Perez